Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.
O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo
Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo,
recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy.
De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita ou de função implícita, como em que implicitamente especifica a função.
A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números e nem mesmo se limita a computações. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contra-domínio (ou codomínio) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contra-domínio. O conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem".
As funções são definidas abstratamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções.
História
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em 1694, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos.
Matemáticos
Gottfried Wilhelm von Leibniz foi um filósofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão. A ele é atribuída a criação do termo "função" (1694), que usou para descrever uma quantidade relacionada a uma curva, como, por exemplo, a inclinação ou um ponto qualquer situado nela. Demonstrou genialidade também nos campos da lei, religião, política, história, literatura, lógica, metafísica e filosofia.
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas. Publicou a primeira integração de uma equação diferencial; deu solução ao problema dos isoperímetros, que abriu caminho ao cálculo das variações de Euler e Lagrange e estendeu suas principais aplicações ao cálculo das probabilidades. É considerado o pai do cálculo exponencial. Foi professor de matemática em Basiléia, tendo sido importantíssima sua contribuição à geometria analítica, à teoria das probabilidades e ao cálculo de variações.
Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das probabilidades Ars Conjectandi, que ainda oferece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística.
Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos Cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática. Euler é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática:
“Leia Euler, leia Euler, ele é o comandante [ou seja, professor] de todos nós.”
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet foi um matemático alemão, a quem se atribui a moderna definição formal de função.
Dirichlet nesceu em Düren. Foi educado na Alemanha e na França, onde foi aluno dos mais renomados matemáticos da época. Sua primeira publicação foi sobre o Último teorema de Fermat, a famosa conjetura (hoje provada) que afirmava que para n > 2, a equação xn + yn = zn não possui soluções inteiras, com exceção da solução trivial em que x, y, ou z é zero, para a qual concebeu uma prova parcial para n = 5, que foi completada por Adrien-Marie Legendre, que foi um dos avaliadores. Dirichlet também completou sua própria demonstração quase ao mesmo tempo; mais tarde, ele também forneceu uma prova completa para o caso de n = 14. Após sua morte, os escritos de Dirichlet e outros resultados em teoria dos números foram coletados, editados e publicados por seu amigo e colega matemático Richard Dedekind sob o título Vorlesungen über Zahlentheorie (Aulas sobre Teoria dos Números).
Joseph Louis Lagrange foi um matemático francês. O pai de Lagrange havia sido tesoureiro de guerra da Sardenha, tendo se casado com Marie-Thérèse Gros, filha de um rico físico. Foi o único de dez irmãos que sobreviveu à infância. Napoleão Bonaparte fez dele senador, conde do império e grande oficial da Legião de Honra.
